Apa sih polinomial itu?
Polinomial atau suku banyak adalah pernyataan matematika yang melibatkan jumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien.
Polinomial umum (atau fungsi bilangan bulat rasional) derajat ke-n dalam x memiliki bentuk:
P(x) : a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ….. + an-2x2 + an-1x + an
Di mana n adalah bilangan cacah, a0, a1, a2, …., an-1 koefisien, an konstanta serta a0 ≠ 0
Bentuk penulisan suku banyak disusun dengan suku (variabel) pangkat tertinggi diletakkan pada urutan paling depan, sedangkan pangkat yang lebih kecil berada di sebelah kanannya, misalnya:
- Polinom 8x3+ 6x2+5x+3 dapat dinyatakan sebagai 8x3+ 6x2+5x1+3x0
Nilai Fungsi Polinomial
Jika suatu polinom dilambangkan dengan P(x), maka nilai polinom
itu untuk x=2 adalah P(2),contoh
jika P(x) = x2-2x+1 ,maka
P(2) = (2)2 - 2(2) +1 = 1,
Nilai Fungsi Polinomial
Jika suatu polinom dilambangkan dengan P(x), maka nilai polinom itu untuk x=2 adalah P(2),contoh
Ada juga yang
namanya polinomial identik. Mengapa di sebut polinomial identik? Karena dua
suku banyak (polinomial) dikatakan sama (identik) jika keduanya mempunyai
derajat sama dan koefisien-koefisien suku sejenis juga sama.
Misal:
diketahui bahwa ax2+(b-a)x+(a+b+c)
= 2x2 + 4x – 5. Berapakah hasil dari (a3-(bc))abc ?
Sehingga :
a= 2
a= 2
b-a=4
b-(2)=4
b=6
a+b+c = -2
2+6+c = -2
c = -2-8 = -10
(a3-(bc))abc
= (23-(6.-10)).2(6)(-10) = (8-(-60))(-120) = -8160
Pembagian polinomial
Pembagian pada polinomial
dapat dilakukan dengan pembagian biasa ataupun pembagian horner ( proses
pembagian sintetis ).
Contoh soal:
( 3x2-7x2-11x+4)
dibagi (x-4)
Cara pertama dengan
menggunakan pembagian biasa.
Cara kedua dengan menggunakan pembagian Horner.
Terdapat pula 2 teorema yang digunakan dalam mengerjakan soal polinomial, yaitu:
1. Teorema sisa
Apa itu teorema sisa?Teorema sisa yaitu teori yang akan membahas mengenai sisa pembagian suatu suku banyak. Contohnya seperti, hasil pembagian dari 19 : 4 adalah 4 dengan sisa 3. Bentuk tersebut dinyatakan dengan kesamaan : 19 = 4×4+3Dengan kesamaan tersebut, kita dapat menentukan persamaan dasar yang menghubungkan suku banyak P(x) yang merupakan unsur yang dibagi, D(x) sebagai pembagi, H(x) hasil bagi, dan S adalah sisa, yaituP(x) = D(x) . H(x) + SPerlu diketahui bahwa jika suku banyak P(x) dibagi x-k, maka sisanya adalah P(k).
Contoh:
2. Teorema Faktor
Tahukah kalian apa itu teorema faktor ?Teorema faktor adalah teori yang akan membahas faktor-faktor dari pembagian suku banyak.Perlu kita ingat bahwa, suku banyak P(x) mempunyai faktor (x-k) jika dan hanya jika P(k) =0. Sebaliknya, jika (x-k) adalah faktor dari P(x), maka k adalah akar dari P(x) =0 atau P(k) =0.Contoh:
Persamaan Polinomial
Dalam menyelesaikan suatu persamaan polinomial dapat dengan mencari faktor atau akar dari persamaan polinom tergantung soal yang diberikan.Bentuk umum persamaan polinom adalah anxn + an-1xn-1+…+ax+a0 = 0.Misalkan p adalah faktor-faktor dari a0 dan q adalah faktor-faktor dari an, maka k= ±p/q dengan k adalah kemungkinan akar.Contoh 1Tentukan himpunan penyelesaian dari x4-5x2-36!a0=36 ; p=1,2,3,4,6,9,12,18,36an =1 ; q=1k=±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36Dengan mencoba membagi x4-5x2-36 dengan nilai k,maka ditemukan sisa pembagian 0 untuk x=-3 dan x=3.−3 │ 1 0 −5 0 −36│ −3 9 −12 36└────────────── + (x+3)3 │ 1 −3 4 −12 | 0│ 3 0 12└────────── + (x-3)1 0 4 | 0Dari hasil horner diatas kita mendapatkan faktor dari x4-5x2-36 yaitu (x+3) (x-3)(x2+4).x-3=0 x+3=0 x2-4=0 HP={-3,3,2}x=3 x=-3 x=2 *dalam penulisan HP dimulai dari yang terkecilHubungan Akar-Akar Polinomial dengan Koefisien-Koefisien Suku.
Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan:
1. ax2+bx+c = 0jumlah akar-akar : x1+x2 = - b/ahasil kali akar-akar : x1x2 = c/a2. ax3+bx2+cx+d =0jumlah akar-akar : x1+x2+x3 = -b/ahasil kali akar-akar : x1x2x3 = -d/a3. ax4+bx3+cx2+dx+e =0jumlah akar-akar : x1+x2+x3+x4 = -b/ahasil kali akar-akar : x1x2x3x4 = e/a4. ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f =0jumlah akar-akar : x1+x2+x3+x4+x5 =-b/ahasil kali akar-akar : x1x2x3x4x5 = -f/aFungsi Pecahan SebagianDalam pengerjaan soal polinomial bentuk pecahan, bisa dilihat beberapa cara di bawah ini.
Kita dapat bandingkan derajat pembilang ruas kanan dengan derajat penyebut ruas kiri pada 2 pecahan di atas. Untuk setiap faktor linear (ax+b) pada penyebut, terdapat satu pecahan dalam A/ax + bdimana A adalah konstanta.
Yang pertama ialah dengan membandingkan koefisien-koefisien variabel pembilang yang sederajat.
Dari persamaan di atas, bisa kita nyatakan bahwa :(1)x = (A+B)x-12 = (3A-2B)Dan setelah dieliminasi, diperoleh A=-2 dan B=3
Kemudian untuk cara yang kedua, bisa kita substitusikan nilai x agar satu di antara nilai A atau B menjadi nol.
Agar nilai B menjadi nol, nilai x yang bisa kita pakai adalah 2. Karena dari (x-2), kita masukkan x= 2, (x-x) = 0dan diperoleh A = -2
Contoh masalah yang melibatkan polinomial
Sebuah perusahaan sepatu mempunyai persediaan bahan baku kulit yang memenuhi persamaan
F(x) = x3- 4x2 + 5x, dimana x dalam meter.
Apabila bahan baku untuk sebuah sepatu memenuhi persamaan (x-2), tentukan :a. jumlah sepatu yang dapat diproduksi, danb. sisa bahan baku setelah diproduksi.
a. Jumlah sepatu yang diproduksi merupakan hasil bagi persediaan bahan baku dibagi bahan baku. Bisa kita gunakan cara Horner dan diperoleh hasil baginya adalah x2-2x + 1 dengan sisa 2.
b. Jadi sisa bahan baku setelah diproduksi adalah 2.--------------------------------------------------------------Sumber:
Ayres, Frank dan Philip A. Schmidt. 2004. Matematika Universitas. Jakarta: Erlangga.
Martin, Karlheinz dkk. 2003. Tabel Referensi untuk SMA & Perguruan Tinggi. Jakarta: Erlangga.
Noormandiri, B.K. 2016. Matematika Kelompok Peminatan. Jakarta: Erlangga.
Kelompok 1:Adelius Vieter (1)Febriana (15)Kesya Stefanie (21)Nazhifah Salsabila Tiyani (26)
Baguss, terima kasih
ReplyDelete